de Petru CÂRDEI si Virgil Muraru
Majoritatea programelor de analiză structurală au un mod de operare comun, mai precis un fond comun majoritar de comenzi si proceduri, majoritar în raport cu numărul instructiunilor si facilitătilor particulare. Din aceste motive, considerăm că, descriind modul de operare în programul COSMOS 1.75, se poate crea o imagine generală asupra modului de lucru cu oricare dintre programele de analiză structurală de largă folosintă (ANSYS, NASTRAN, EUCLID, etc.).
Prima etapă a operării este descrierea geometriei structurii studiate. în această etapă se introduce prima ipoteză:
I0 - geometria modelului aproximează suficient geometria modelului fizic (structura analizată), având în vedere problemele care se cer a fi rezolvate.
Modelarea structurii poate fi uni-, bi- sau tri-dimensională , în întregime sau pe portiuni (adică mixtă: portiuni modelate uni-dimensional, portiuni modelate bidimensional sau portiuni modelate tridimensional). Pentru exemplu, dacă la o grindă care se încadrează în categoria grinzilor zvelte (subtiri), interesează numai comportamentul global la întindere sau încovoiere, sau alt tip de solicitare, de cele mai multe ori, un model unidimensional este suficient. Dacă grinda contine concentratori de tensiune atunci se poate aplica teoria concentratorilor de tensiune folosind rezultatele obtinute cu ajutorul modelului uni-dimensional, dar se poate apela la un model tridimensional cu o fidelitate mai mare a geometriei relativ la modelul fizic. Există concentratori de tensiune ai căror coeficienti efectivi de concentrare trebuie calculati cu ajutorul acestor programe. În astfel de cazuri, folosirea unui model tridimensional este obligatorie, dar utilizarea acestuia trebuie făcută cu multă atentie.
Prima etapă - constructia geometriei modelului se face folosind entităti geometrice clasice: puncte, curbe (drepte, conice, elice, spline, etc.), suprafete (plane, curbe, de rotatie sau nu, etc.), volume, regiuni. Ierarhizarea acestor entităti este cea firească, dată de procesul de constructie: punctul, curba, suprafata sau regiunea, volumul. De această ordine se tine seamă la operatiile aplicate acestor entităti (de exemplu stergerea). Multe dintre programele de analiză structurală au posibilitatea de a prelua geometria structurii analizate gata construită cu ajutorul unor programe de desenare (AutoCAD, de exemplu). Acest mod de lucru măreste, în general, viteza de lucru si implicit randamentul analizei. Fiecare dintre programele de analiză structurală au anumite limite în ceea ce priveste numărul de entităti geometrice. Se cunoaste că generarea unor entităti geometrice de ordin superior se face de cele mai multe ori prin operatii simple, plecând de la entităti geometrice de ordin inferior. Cum în acest articol se încearcă o tratare globală a modului de operare, nu mai insistăm în descrierea modului de generare a geometriei modelului.
Etapa a doua este cea de modelare fizică, iar pentru entitătile uni si bidimensionale, fizico - geometrică. Această etapă constă în furnizarea constantelor fizice care definesc materialul cu care se lucrează, iar în cazul structurilor uni si bidimensionale, în această etapă se dau caracteristicile geometrico - inertiale, ale structurilor grinzilor si plăcilor. Datele despre materialul cu care se lucrează cuprind: modulele de elasticitate (E, G) eventual pe directii dacă materialul nu este izotrop), densitatea de masă, coeficientii de dilatare liniară (pentru probleme de termoelasticitate), vâscozitatea, conductivitatea termică, coeficienti de rigiditate sau de amortizare (pentru modele discrete). Din aceeasi categorie de date, fac parte curbele constitutive neliniare, necesare problemelor de analiză neliniară, cum ar fi, de exemplu calculul unei structuri în domeniul elastic neliniar sau plastic. Pentru un astfel de studiu se dă curba tensiune - deformatie specifică sub forma ei neliniară. Legi de acelasi tip există si pentru problemele de mecanica fluidelor, de analiză termică si pentru probleme de electromagnetism.
Constantele geometrice si inertiale ale sectiunilor transversale ale entitătilor unidimensionale sau ale celor bidimensionale, sunt: aria, momentele de inertie, punctele, dia metrele maxime pe directia de solicitare si perpendicular pe aceasta, perimetrul sectiu nii, etc.
Etapa a treia este aceea în care se discretizează structura. Această etapă este ceva mai complexă decât primele două pentru că necesită o anumită experientă legată de: cunoasterea bibliotecii de elemente finite avute la dispozitie (alegerea tipului sau tipurilor de elemente, potrivite pentru entitătile geometrice ale modelului si pentru tipul de problemă care se doreste a fi rezolvată) si de o anumită experientă necesară realizării unei discretizări suficient de fine pentru a obtine precizia dorită, dar, în acelasi timp si o rapiditate convenabilă în rezolvarea problemei. Pentru structurile formate din mai multe tipuri de entităti geometrice este necesară o mare atentie la trecerea de la un anumit tip de elemente finite la altul în timpul discretizării, în sensul activării tipului de elemente finite potrivit fiecărei entităti. Aceeasi observatie este valabilă pentru structuri formate din entităti geometrice diferite sau/si entităti fizice diferite (elemente din materiale diferite). Pentru ca structura să functioneze corect este necesară o mare atentie la cuplarea în noduri a substructurilor componente, fie prin condensarea nodurilor, fie prin cuplarea lor cu anumite tipuri de legătură.
O coerentă corectă a structurilor se poate obtine în faza de discretizare în mod natural prin discretizarea separată a substructurilor si condensării partiale.
În esenta lor fizică, elementele finite, cuprind modelul matematic al corpului care constituie subiectul analizei: bară dreaptă (în variatiile micilor sau marilor deformatii, liniar sau neliniar elastică, omogenă sau nu, solicitată separat sau compus la întindere, compresiune, încovoiere, torsiune), bară curbă, plăci plane, plăci curbe, corzi, membrane, medii continue tridimensionale, structuri discrete de tip resort, amortizor si masă, eventual si alte tipuri de elemente. în această etapă, dar mai ales în prima, trebuie respectate criteriile dimensionale care decid dacă o grindă se poate trata ca grindă subtire sau o placă poate fi tratată ca placă subtire sau membrană. Se cunoaste că, desi modelează acelasi corp, pentru fenomene diferite, modelele diferă, din punct de vedere matematic. Pentru exemplu întinderea si încovoierea pentru bara dreaptă se modelează matematic printr-o problemă diferentială de ordinul doi, respectiv patru.
Cea de a patra etapă este una în care ipotezele au un rol extrem de important, desi fiecare etapă parcursă până la aceasta, n-a fost decât o colectie de ipoteze. în această etapă se modelează rezemarea si solicitarea. Reazemele constau în anularea unora din gradele de libertate ale unor noduri. Această operatie este în general dificilă din punctul de vedere al aproximării rezemării modelului real (fizic). Nici solicitările nu sunt în general mai putin pretentioase, necesitând calcule preliminarii. Solicitările pot fi de natură mecanică (deplasări impuse, forte, presiuni, momente), inertiale (acceleratii liniare sau centrifuge), termice (corpuri termice si surse), electromagnetice (surse si corpuri electromagnetice).
Odată încheiată această etapă, se poate trece la analiza propriu-zisă.
Etapa finală a unei analize elementare este extragerea, reprezentarea si verificarea rezultatelor (postprocesare). în această etapă se pot obtine distributiile calitative si cantitative ale unor mărimi de interes în structură: deplasări relative, deformatii, tensiuni, viteze, acceleratii, temperatura absolută sau relativă, procentul consumat din durata totală de viată (analiza la oboseală), presiuni, intensitătile câmpurilor electrice si magnetice, etc.
Pentru studii avansate, în afara celor patru etape mentionate până acum, s-ar mai putea enumera: etapa interpretării tuturor rezultatelor posibil de extras din solutia obtinută la analiză, etapa reluării calculului cu date modificate în scopul obtinerii unei optimizări prin tatonare, o etapă care nu apare necesar în această ordine - etapa realizării modelului complex.
În cele ce urmează, se va aplica modul de lucru descris mai sus, pe un exemplu de analiză statică a unei structuri foarte simple, ale cărei rezultate se pot testa analitic cu mare usurintă.
Modelul geometric apare în fig. 1, stânga sus, fiind format dintr-o grindă subtire simplu rezemată la capete si încărcată în două noduri simetric distribuite în raport cu centrul grinzii. Entitatea geometrică pe care o descrie osia este o dreaptă definită de punctele de capăt. Lungimea osiei este 1350 mm, iar sectiunea transversală are forma unui pătrat cu latura de 30 mm.
Materialul din care este construită osia, otel OL35, are modulul de elasticitate E=2.1 1011 N/m2, coeficientul lui Poisson =0.3, modulul de elasticitate transversal G=8.07 1010 N/m2 si densitatea 7850 kg/m3. Aceste constante de material sunt suficiente pentru studiul unei probleme elementare: stările de deformatie si tensiune în structură, rezultate în urma aplicării unei solicitări statice de 900 kg (câte 450 pe fiecare reazem), frecventele si modurile fundamentale pentru osia liberă si încărcată.
Până în acest moment am făcut următoarele ipoteze:
I1 - osia se poate încadra în cadrul barelor si modelul geometric ales este o aproximatie suficientă pentru analiza pe care dorim să o facem;
I2 - materialul de constructie al osiei este omogen si izotrop.
După modelarea geometrică am trecut la cea fizică introducând datele constantelor de material E, , G, în program, precum si aria si cele două momente de inertie ale sectiunii transversale ale osiei.
Discretizarea structurii s-a făcut cu 135 de elemente BEAM3D care se află în biblioteca de elemente finite a programului COSMOS 1.75. În această etapă apare o nouă ipoteză :
I3 - elementele BEAM3D modelează cu aproximatie suficient de bună comportamentul grinzii (osiei) supuse acestei modelări;
I4 - cele 135 de elemente folosite asigură cerintele unei analize mecanice reusite: convergentă la solutia corectă, stabilitate si posibilitatea de calcul a erorii.
Ipoteza I4 se poate testa pentru a-i stabili suficienta, variind numărul elementelor si comparând rezultatele.
După efectuarea unui control asupra corectitudinii discretizării, se poate trece la etapa descrierii rezemărilor si solicitărilor.
Pentru osia supusă acestei analize, am considerat că restrictiile: ux=uy=uz=vx=vy=0 la capătul din originea sistemului de axe (osia este orientată cu lungimea în lungul axei Ox) si uy=uz=vx=vy=0 la capătul din dreapta, sunt conditii care simulează suficient de bine rezemarea osiei reale, în care ux, uy, uz sunt deplasările nodale pe cele trei directii, iar rx, ry rotatiile în jurul axelor Ox si Oy. Apare deci o nouă ipoteză:
I5 - Restrictiile alese pentru nodurile de la extremităti se presupune că reflectă suficient de bine realitatea.
Încărcarea de 900 kg pe osie se introduce în două noduri, pe directia Oy în sens negativ. Apare astfel o a sasea ipoteză:
I6 - Reprezentarea încărcării cu forte concentrate în două puncte, este o aproximatie suficientă a modului real de aplicare a încărcării.
Urmează etapa de analiză si, pentru început se face analiza statică a structurii. Acest exemplu, foarte mic, din punct de vedere al numărului de entităti geometrice, discretizării si necesarului de memorie pentru lucru, este rezolvat prin metoda clasică în timp de 6 secunde, iar prin metoda rapidă (FFE), în 3 s. Rezultatele obtinute prin cele două metode coincid.
În urma acestei prime analize, analiza statică, se pot obtine primele rezultate, prin reprezentări grafice de diverse tipuri sau listare. În fig. 1 se dă harta color a distributiei deplasării relative rezultante în osie (dreapta sus), harta distributiei tensiunii axiale sx (stânga jos) si diagrama fortei tăietoare (dreapta jos). Diagrama momentului încovoietor apare în fig. 2 (stânga sus). Mărimile de stare ale osiei: deplasarea relativă (rezultantă sau componentele), tensiunea axială, forta tăietoare si momentul încovoietor se pot da pentru fiecare nod sau element, fie prin listare, fie prin citire locală pe ecranul terminalului. Se pot sorta extremele mărimilor de stare sau nodurile si elementele în care mărimea de stare subiect, depăseste un anumit procent din maximul sau minimul acesteia (în ipoteza că acestea există).
Am mai efectuat, în acest exemplu, analiza frecventelor proprii, căutând numai frecventa fundamentală în două variante: osia liberă de sarcină si osia încărcată. Frecventa fundamentală si forma deformată la vibratia în modul propriu fundamental apar în fig. 2, dreapta sus (osia liberă de sarcină). Aceleasi caracteristici, dar pentru primul si al doilea mod de vibratie, apar în fig. 2, dreapta si stânga jos. Pentru calculul frecventelor proprii în cazul osiei încărcate, am completat structura cu douăzeci elemente de tip MASS cu valoarea totală de 450 Kg, elemente dispuse în nodurile în care la calculul static au fost dispuse fortele de încărcare. Încărcarea osiei conduce, fireste, la coborârea valorică a spectrului propriu, frecventa fundamentală ajungând astfel în zona spectrului de excitatie externă a osiei, în regim de deplasare pe cele mai multe tipuri de drumuri.
Am ales acest exemplu simplu, întrucât el a fost testat experimental, iar rezultatele au confirmat concluziile analizei numerice cu ajutorul programelor de analiză structurală, rezultate care, pentru această structură elementară, coincid practic cu cele obtinute prin calculul analitic.
Frecventa proprie a osiei neîncărcate, găsită experimental, este 38 Hz, iar pentru osia încărcată, tot experimental, aproximativ 7 Hz. Analitic, pentru cele două cazuri, se găsesc, pentru frecventele proprii valorile: 38.6 Hz, respectiv 6.95 Hz. Calculul numeric, efectuat cu ajutorul programului COSMOSM 1.75, a dat, pentru frecventa fundamentală, în cele două cazuri de încărcare, valorile: 38.6 Hz, respectiv 6 Hz.
Pentru săgeata osiei (deplasarea relativă maximă) si tensiunea axială maximă, calculul analitic da valoarea: 0.01377 m, respectiv 196.2 MPa, în timp ce, pentru aceleasi două mărimi, calculul numeric efectuat cu programul mai sus specificat, dă valorile: 0.0138 m, respectiv, 196 MPa.
Verificarea experimentală a tensiunii în osie s-a făcut pentru o încărcare putin diferită, rezultatele programului fiind în foarte bună concordantă cu datele măsurate. De fapt programele folosite au atras atentia asupra faptului că în model trebuie introdusă o structură suplimentară prin care s-a aplicat încărcarea. Diferenta între modelul clasic al osiei si cel care s-a testat în experiment a stat la originea descoperirii adevăratei solicitări introduse de instalatia de testare. Dar despre această problemă se poate vorbi într-un articol separat care poate interesa si pe experimentatori.